miércoles, 29 de febrero de 2012

integrales

Temas
2.3 Cálculo de integrales indefinidas.
2.3.1 Directas.
2.3.2 Con cambio de variable.
2.3.3 Trigonométricas.
2.3.4 Por partes.
2.3.5 Por sustitución trigonométrica.
2.3.6 Por fracciones parciales.

Integrantes:

Maritza Godoy Lopez
Eduardo Minor Alvarez
Erika Segundo Martines
Alvaro Soto Lopez


2.3 Cálculo de integrales indefinidas.

Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;… Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.




2.3.1 Directas.


Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las propiedades y de las formulas se puedan encontrar antiderivadas.




2.3.2 Con cambio de variable


El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
integral por sustitución
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

integral
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
cambio
diferenciar
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
sustituir en la integral
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
integral
3º Se vuelve a la variable inical:
cambio de variable

Ejemplo

integral
cambio de variable
cambia variable
integral
integral
cambie variable
solución

Cambios de variables usuales

1. cambio de variable x = a sen t
2. cambio de variable x = a tg t
3. cambio de variable x = a sec t
4. cambio de variable t = radicando
5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, elcambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.
6. Si racional que una métrica par es par:
cambio de variable
7. Si racional que una métrica par no es par:
cambie variable

Ejemplos

integral
cambie variable
camero variable
integral
integral
cambie variable
operaciones
cambie variable
operaciones
operaciones
solución
integral
cambie variable
operaciones
solución
integral
cambio de variable
operaciones
solución
integral
cambio de variable
cambio de variable
integral
sangre variable
integral
integral
cambie variable
integral
integral
cambio de haber cambio de variable
solución
solución
integra
cambio variable
cambio de variables
sustitución
operaciones
operaciones
operaciones
cambie variable
solución

             2.3.3 Trigonométricas

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

Ejemplos

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación

2ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación

3ecuación
ecuación
Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.
ecuación
ecuación

4ecuación
ecuación
ecuación

5ecuación
ecuación
ecuación
ecuación

6ecuación
ecuación
ecuación

7ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación

8ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación

9ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación





2.3.4 Por partes


El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
fórmula de la integral por partes
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Ejemplos

integral
derivar
integrar
solución

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como y se repite el proceso n veces.
integral
derivar
integrar
integral
derivar
integrar
integral
operaciones
derivar
integrar
integral
solución

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.
integral
derivar
integrar
integral
solución

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.
integral
derivar
operaciones
integrar
derivar
integrar
integral
integral
integral
integral
integral

  2.3.5 Por sustitución trigonométrica


La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma
 \sqrt {a^2 - u^2}  \sqrt{a^2 + u^2}  y  \sqrt{u^2 - a^2}
Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.
En el caso general la integral a resolver es:
\int R (x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx
Simplifiquemos paso a paso el termino de la raíz, primeramente sacaremos a factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.
\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )}=
=\sqrt{a\cdot \left ( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+ \left ( \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2} \right ) \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+c-\frac{b^2}{4a}}
De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:
  1. a > 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}>0 es decir: \sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+n^2}
  2. a > 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}<0 es decir: \sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-n^2}
  3. a < 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}>0 es decir: \sqrt{n^2-m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2}
teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con
u=m \left ( x+\frac{b}{2a} \right)  
Estos los cambios que hay que realizar según la situación:
  1. \sqrt{u^2+n^2};\quad  u=n\cdot \tan t
  2. \sqrt{u^2-n^2};\quad  u=n\cdot \sec t
  3. \sqrt{n^2-u^2};\quad  u=n\cdot \sin t
La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t, se resuelve y se deshace el cambio.



2.3.6 Por fracciones parciales



























Biblografia:

1 comentario:

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