Nota:
Profesor perdón por las molestias al parecer el blooger no me está dejando cargar al imágenes es más ni las muestra pero lo tenemos en un documento de Word. Gracias por su comprensión
NUMEROS REALES
El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1.000 a.C. El desarrollo de la noción continuó con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales.
Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).
Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).
Es importante tener en cuenta que los números reales permiten completar cualquier tipo de operación básica con dos excepciones: las raíces de orden par de los números negativos no son números reales (aquí aparece la noción de número complejo) y no existe la división entre cero (no es posible dividir algo entre nada).
Números reales
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos
· Números Irracionales (Q'):
Nacen por la necesidad de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas.
La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas.
Existen infinitos números irracionales. Junto con los racionales forman el conjunto de los números reales.
Ejemplos
-- --
7/45 -- 8/67 -- 98/45Propiedad importante:
Suma:
La suma de números racionales tiene las mismas propiedades que la suma de números naturales y enteros. Tiene las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y existe el opuesto de cualquier número racional.
ASOCIATIVA
En una suma de números racionales pueden sustituirse dos o más sumandos por su suma ya efectuada, y no varía la suma total.
Ejemplo:
2/3 + (1/5 + 7/15) = 2/3 + 10/15 = 20/15
análogamente:
(2/3 + 1/5) + 7/15 = 13/15 + 7/15 = 20/15
CONMUTATIVA
El orden de los sumandos no altera el valor de la suma.
Ejemplo:
2/3 + 1/5 + 7/15 = 1/5 + 7/15 + 2/3
20/15 = 20/15
Elemento neutro
En el conjunto de los números racionales existe un número que sumado a cualquier otro da siempre este otro. Este número se llama elemento neutro de la suma y es el cero.
Ejemplo:
3/4 + 0/6 = 9/12 = 3/4
Existencia del opuesto
El opuesto del número 3/7 es - 3/7
La suma de dos números opuestos pertenece a la clase del numerador cero.
Ejemplo:
4/7 + (- 4/7) = 0/4
Multiplicación
Asociativa
En un producto de números racionales pueden sustituirse dos o más de los factores por el producto efectuado.
Conmutativa
El orden de los factores no altera el producto.
Elemento neutro
En el conjunto de los números racionales existe un número que, multiplicado por cualquier otro, da siempre este otro. A tal número se le llama elemento neutro respecto del producto. Es el representado por las fracciones del tipo a/a (numerador y denominador iguales).
Elemento inverso
Es el que, multiplicado por un número racional, hace que su producto sea el elemento neutro.
Ejemplo:
Para 2/5 el inverso es 5/2 porque:
2/5 x 5/2 = 2 x 5/5 x 2 = 10/10
BIBLIO GRAFIA
INTERVALOS
Es el conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.
(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo cerrado
Es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que “a” y menores o iguales que “b”.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA
Es el conjunto de todos los números reales mayores que “a” y menores o iguales que “b”.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA
Es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que “a” y menores que “b”.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo “ ”(unión) entre ellos.
Clasificación
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y semi-abiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, o infinita).
Estos son todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y su longitud:
Un intervalo abierto o cerrado (pero no semi abierto) de longitud finita se puede definir a partir de su centro y su radio:
Si “I” = a, b[su centro es c = (a + b)/2, y su radio es r = (b - a)/2. a < x < b equivale a |x - c| < r; y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r; se nota x ε B (c, r); B para bola abierta, término que se generaliza a cualquier espacio métrico.
De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se habla de bola cerrada. Se nota este conjunto:
B (c, r) = { x ε R, |x - c| ≤ r }. Es la clausura topológica de la bola abierta B (c, r) = { x ε R, |x - c| < r }.
Cuando dos variables (pongamos x e y) toman sus valores en sendos intervalos “I” e “J”, es legítimo preguntarse en que intervalo varían su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Contestar a esta pregunta permitirá definir las cuatro operaciones sobre los intervalos.
Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.
Podemos sumar las inigualadas: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [ a + c , b + d ].
Para la diferencia, hay que mirar primero - y : - d ≤ - y ≤ - c, y luego se puede sumar las inigualadas: a - d ≤ x - y ≤ b - c. De ahí obtenemos I - J = [ a - d, b - c ].
Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, el producto y el cociente son también sencillos: I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].
BIBLIOGRAFIA
¿Que es un intervalo?
En Análisis matemático, se denomina intervalo a la máxima división sectorial sumisa, es decir al subconjunto de la doble implicación latente en matemáticas subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad:
| si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I. |
Tipos de intervalos y ejemplos:
Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:
| Notación | Intervalo | Longitud (l) | Descripción |
| | | | Intervalo cerrado de longitud finita. |
| | | | Intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto). |
| | | | intervalo abierto en a, cerrado en b. |
| | | | intervalo abierto. |
| | | | Intervalo (semi) abierto. |
| | | | Intervalo (semi) cerrado. |
| | | | Intervalo (semi) cerrado. |
| | | | Intervalo (semi) abierto. |
| | | | Intervalo a la vez abierto y cerrado. |
| | | | intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. |
| | x no existe | Sin longitud |
Mi comentario:solo puedo decirle que su clase en el pizarron le falta explicar un poquito,y todavia no agarro la onda de lo del final voy a hecharle ganas.gracias…
TIPOS DE DESIGUALDADES
CUADRATICAS
VALOR ABSOLUTO
SE UTILIZA LA FORMULA
DETERMINAR LOS VALOR DE X QUE SATISFAGAN LAS SIGUIENTES DESIGUALDADES
x2+x-2>0
A=1
B=1
C=-2
x2-7x+12 >0
a=1
b=-7
c=12
X=4
2x2+3x-5≤0
a=2
b=3
c=-5
Comentario:
Biblografia:
¿Qué es Valor Absoluto?
El valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones,anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
el valor absoluto siempre es y será de cualquier numero positivo o negativo
EJEMPLO
1.- f(x)=IxI
2.- f(100)=I100I=100
3.- f(-500)=I-500I=500
La grafica de un valor absoluto siempre se da en forma V . EJEMPLO
Comentario:
Bueno creo que esto nos sirve de mucha ayuda y yo creo que las explicaciones del profesor también son buenas y por mi parte esta bien como da y como nos explica.
Comentario:
Biblografia:
Desigualdades con Valor Absoluto
En el capítulo 1 definimos el valor absoluto de un número real , que representamos por , mediante
También observamos en dicho capítulo que representa la distancia del origen al punto , y de forma más general que representa la distancia entre y .
Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con respecto a la multiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la sustracción.
Propiedades del valor absoluto.
Si y son números reales arbitrarios entonces
1.
2.
3. ,
4. (Desigualdad triangular)
5. y
La interpretación geométrica de nos proporciona una justificación de las siguientes dos propiedades
Sea . Entonces
6. es equivalente a
7. es equivalente a o
Gráficamente tenemos
Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es la siguiente
8. es equivalente a
En las propiedades (6) a (8) el símbolo puede remplazarse por .
Ejemplo 1. Resolvamos la desigualdad .
Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:
Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo .
Ejemplo 2. Resolvamos la desigualdad .
La propiedad (7) nos dice que la desigualdad es equivalente a
Resolviendo
o sea
Por lo tanto, la solución de la desigualdad dada es
Ejemplo 3. Resolvamos la desigualdad .
Utilizando la propiedad (8) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:
Elaborando un diagrama de signos tenemos
| Signo de | + | - | - |
| Signo de | - | - | + |
| Signo de | - | + | - |
Vemos que la solución de la desigualdad es .
Comentario acerca del tema:
Las desigualdades con valor absoluto son un poco complicadas si no te las an explicado bien gracias a libros en internet y otros recursos son más fáciles de resolver y de entender aunque para mí no tengo concretamente para que me van a servir en el futuro es mejor aprenderlas ahorita, que cuando ya las voy a necesitar
Bibliografía:
Universidad Nacional de Colombia: Sede Bogota
Material Adicional sobre los temas Mencionados
Valor Absoluto
M.S c. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S.
Julio Ríos
Desigualdades con Valor Absoluto Caso 1
Alberto Camacho
Cálculo diferencial
