Temas
2.3 Cálculo de integrales indefinidas.
2.3.1 Directas.
2.3.2 Con cambio de variable.
2.3.3 Trigonométricas.
2.3.4 Por partes.
2.3.5 Por sustitución trigonométrica.
2.3.6 Por fracciones parciales.
Integrantes:
Maritza Godoy Lopez
Eduardo Minor Alvarez
Erika Segundo Martines
Alvaro Soto Lopez
2.3 Cálculo de integrales indefinidas.
Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;… Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.
2.3.1 Directas.
Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las propiedades y de las formulas se puedan encontrar antiderivadas.
2.3.2 Con cambio de variable
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inical:
Ejemplo
Cambios de variables usuales
1.
2.
3.
4.
5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, elcambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.
6. Si es par:
7. Si no es par:
Ejemplos
2.3.3 Trigonométricas
En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.
Ejemplos
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1
2
3
Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.
4
5
6
7
8
9
2.3.4 Por partes
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
Ejemplos
Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.
Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.
Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.
2.3.5 Por sustitución trigonométrica
La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma
- , y
Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.
En el caso general la integral a resolver es:
Simplifiquemos paso a paso el termino de la raíz, primeramente sacaremos a factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.
De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:
- a > 0 Λ es decir:
- a > 0 Λ es decir:
- a < 0 Λ es decir:
teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con
Estos los cambios que hay que realizar según la situación:
La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t, se resuelve y se deshace el cambio.
2.3.6 Por fracciones parciales
Biblografia: